Metodo del trinagulo, Metodo del paralelogramo, ley de senos y teorema de cosenos

 En esta clase se explicaron los tipos de vectores que existen y el como se comportan en una figura triangular.
tambien nos dice el como obtener sus angulos y medidas del triangulo cuando nos hacen falta angunos otros datos. esto se puede obtener ya sea con el teorema de pitagoras o con el teorema de piyagoras o con las leyes de senos y cosenos.
isimos unos ejemplos en el salon de como resolver ciertos ejercisios y el como indentificar que metodo emplear en cada uno de los casos.

Suma de vectores: Metodo del triangulo

Es un método que permite hallar la suma o resultante de dos vectores. El método consiste en ubicar los vectores uno a continuación del otro, unidos mediante cabeza y cola. El vector resultante se obtiene uniendo la cola del primero con la cabeza del último.

En la siguiente gráfica, vamos a ver como sumar los vectores Ā y B̄ mediante el método del triángulo:

Ejemplo: De manera gráfica, trazar el vector resultante de los vectores Ā y B̄.

Solucion: El vector resultante, es decir, el vector que resulta de sumar los vectores Ā y B̄, lo vamos a obtener mediante el método del triángulo. Por ello, vamos a trasladar los vectores Ā y B̄, de tal manera que los vectores Ā y B̄ se encuentren uno a continuación del otro, unidos mediante cabeza y cola. 

El vector resultante, lo veremos de color negro, y se obtiene trazando un vector que parte de la cola del primero y termina en la cabeza del último. 

Quien ivento el metodo del triangulo: Pitagoras

Metodo del paralelogramo

Es el método más utilizado; en él se dibujan los dos vectores en el origen de un plano cartesiano, respetando sus magnitudes, direcciones y sentidos. El vector resultante será la diagonal del paralelogramo que inicia en el origen del plano cartesiano 

Según la ley del paralelogramo, la suma de los cuadrados de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales de éste, es decir:


                                    V2[ (AB)² + (CD)² ] = (L₁)² + (L₂)²

Si el paralelogramo es un rectángulo, las diagonales L₁ y L₂ son iguales, por lo tanto, la ley del paralelogramo se reduce al teorema de Pitágoras.

                                          2[ (AB)² + (CD)² ] = 2(L₁)²
Ejemplo:
Sea ABCD un paralelogramo cuyas diagonales son L₁ y L₂ .  se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas.

Supongamos que AB = CD y AD = BC. De la fórmula de la distancia podemos determinar la longitud de L₁ y L₂:

            L₁ = √[ (x + x₁)² + y² ] = √[x² + 2xx₁ + (x₁)² + y² ]

            L₂ = √[ (x₁  – x)² + y² ] = √[(x₁)² – 2xx₁ + x² + y² ]

Por lo tanto:

(L₁)² + (L₂)² = x² + 2xx₁ + (x₁)² + y² + [(x₁)² – 2xx₁ + x² + y² =

= 2[x² + (x₁)² + y²]

Calculando la longitud de AB y CD, tenemos:

                       AB = x

                      CD = √[ (x₁)² + y² ]

Ahora:
                            2[ (AB)² + (CD)² ] = 2[x² + (x₁)² + y²]

Por lo tanto:

                                       [ (AB)² + (CD)² ] = 2(L₁)<sup>2

Para suma vectores A y B por el método del paralelogramo:</sup>

1. Dibujamos el vector A en el origen de un plano cartesiano respetando su módulo, dirección y sentido.

2. Dibujamos en la cabeza de A, el vector B respetando su módulo, dirección y sentido.
   
   
   
   

   
   
   
   
   
   

3. Se trazan rectas paralelas a cada vector formando un paralelogramo.
   
   
   
   

4. El vector resultante será la diagonal del paralelogramo que inicia en el origen del plano cartesiano.

Quien ivento la ley del paralelogramo: Simon Stevin (1548-1620)

Ley de cosenos 

Es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.

La ley de los cosenos establece:

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C .

Esto se parece al teorema de pitagoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

La ley de los cosenos también puede establecerse como:

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B or

 a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A .

Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo incluído-LAL

Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.

Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.

Ejemplo 2: Tres lados-LLL

Dado a = 8, b = 19 y c = 14.  Encuentre las medidas de los ángulos.

Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese es el lado b.

 Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.

  B ≈ 116.80°

Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso, sabemos que el ángulo A y el ángulo C ambos son agudos.

  Para encontrar los otros dos ángulos, es más sencillo usar la ley de los senos. 

Quien invento la ley de Cosenos: Clavius; durante el siglo XV rançois Viète lo utilizó en occidente ya que al parecer, lo redescubrió independientemente.

Ley de senos

La ley de los senos indica que la proporción de los lados de un triángulo y la proporción de los senos de los ángulos respectivos son equivalentes el uno con el otro. La ley de senos es usada para encontrar un ángulo desconocido o un lado de un triángulo que no es un triángulo rectángulo. La ley de los senos relaciona a por lo menos dos ángulos y las medidas de sus lados respectivos.

Fórmula de la ley de senos

La fórmula de la ley de senos relaciona a las proporciones de los lados de un triángulo con los senos de sus ángulos correspondientes. Entonces, tenemos:

$\frac{�}{\sin (�)}=\frac{�}{\sin (�)}=\frac{�}{\sin (�)}$

Aquí, a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo y A, B, C son los ángulos del triángulo. Cada lado del triángulo está denotado con respecto a su ángulo opuesto. Por ejemplo, a es el lado opuesto al ángulo A, b es el lado opuesto al ángulo B y c es el lado opuesto al ángulo C.

¿Cuándo se aplica la ley de los senos?

Las funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente son funciones principales que son usadas para encontrar ángulos o lados desconocidos de un triángulo. La ley de los senos se aplica en las siguientes situaciones:

• Puede ser usada para calcular el otro lado de un triángulo cuando conocemos la medida de dos ángulos y la longitud de un lado.
• Puede ser usada para calcular un ángulo cuando conocemos la medida de dos lados y un ángulo.

Con la ley de los senos, relacionamos a los ángulos con sus lados opuestos. Entonces, usando el siguiente triángulo, podemos aplicar la ley de los senos si es que conocemos la medida de los ángulos A, B y la longitud del lado a y queremos encontrar la longitud del lado b. También, podemos encontrar la medida del ángulo A si es que conocemos las longitudes de los lados a, b y la medida del ángulo B.

Ejemplo:

¿Cómo demostrar la ley de los senos?

Podemos demostrar la ley de los senos usando los siguientes dos triángulos:

Recordemos que el seno de un ángulo en un triángulo es igual al lado opuesto dividido por la hipotenusa. Entonces, en el primer triángulo, tenemos:

$\frac{ℎ}{�}=\sin (�)$

$ℎ=�\sin (�)$

De igual forma, en el segundo triángulo, tenemos:

$\frac{ℎ}{�}=\sin (�)$

$ℎ=�\sin (�)$

Obtuvimos dos expresiones para h. Si es que igualamos a ambas expresiones, tenemos:

 $�\sin (�)=�\sin (�)$

$\frac{�}{\sin (�)}=\frac{�}{\sin (�)}$

Siguiendo el mismo proceso, podemos derivar una relación para $\sin (�)$ y $\sin (�)$. Entonces, tenemos:

$�\sin (�)=�\sin (�)$

$\frac{�}{\sin (�)}=\frac{�}{\sin (�)}$

Al combinar las dos expresiones obtenidas, tenemos la ley de los senos:

$\frac{�}{\sin (�)}=\frac{�}{\sin (�)}=\frac{�}{\sin (�)}$

Quien invento la ley de senos: Hiparco de Nicea (190 a.C.-120 a.C.)

Referencias:
https://matemovil.com/suma-de-vectores-metodo-del-triangulo/
https://miprofe.com/ley-del-paralelogramo/
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/law-of-cosines
https://www.neurochispas.com/wiki/ley-de-senos/